الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات عليها

الأعداد الحقيقية (Real Numbers)

المفهوم:

• العدد غير النسبي (Irrational Number): هو العدد الذي لا يمكن كتابته على الصورة $$\frac{a}{b}$$ حيث \(a, b\) عددان صحيحان و b ≠ 0.
• الأعداد الحقيقية (Real Numbers): هي المجموعة التي تتكون من اتحاد مجموعة الأعداد النسبية $$\mathbb{Q}$$ ومجموعة الأعداد غير النسبية $$\mathbb{Q}'$$.
  $$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'$$
  وتمثل هذه المجموعات تسلسلاً هرمياً للاعداد حيث:
  $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
  كما أن مجموعة الأعداد غير النسبية هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية:
  $$\mathbb{Q}' \subset \mathbb{R}$$

أمثلة على الأعداد غير النسبية:

• الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة: $$\sqrt{3}, \sqrt{8}$$
• الجذور التكعيبية للأعداد التي ليست مكعبات كاملة: $$\sqrt[3]{25}, \sqrt[3]{-16}$$
• العدد π: $$\pi \approx 3.14159...$$
• النسبة الذهبية: $$\phi \approx 1.618...$$

خواص الأعداد الحقيقية:

• إيجاد قيمة تقريبية لعدد غير نسبي: يمكن تقدير قيمة العدد غير النسبي بين عددين صحيحين متتاليين.
  • $$\sqrt{17}$$ يقع بين 4 و 5 (لأن $$4^2=16$$ و $$5^2=25$$)
  • $$\sqrt[3]{25}$$ يقع بين 2 و 3 (لأن $$2^3=8$$ و $$3^3=27$$)
• ترتيب الأعداد الحقيقية: يتم ترتيب الأعداد الحقيقية بمقارنة قيمها.

  مثال: ترتيب الأعداد $$5.\overline{36}, 4\frac{3}{5}, 6, \sqrt{20}$$ تنازلياً

  • $$\sqrt{20} \approx 4.472$$
  • $$4\frac{3}{5} = 4.6$$
  • $$5.\overline{36}$$ (عدد عشري دائر)
  • الترتيب التنازلي: $$6, 5.\overline{36}, 4\frac{3}{5}, \sqrt{20}$$

الفترات والعمليات عليها (Intervals and Their Operations)

المفهوم:

• الفترة: مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية. تُكتب دائماً بدءاً بالعدد الأصغر ثم العدد الأكبر.

أنواع الفترات:

• الفترات المحدودة:
  • المغلقة [a, b]: $$\{x: x \in \mathbb{R}, a \leq x \leq b\}$$ - مثال: [5, 2]
  • المفتوحة ]a, b[: $$\{x: x \in \mathbb{R}, a < x < b\}$$ - مثال: ]5, 2-[
  • نصف المغلقة [a, b[: $$\{x: x \in \mathbb{R}, a \leq x < b\}$$ - مثال: [4, 0[
  • نصف المفتوحة ]a, b]: $$\{x: x \in \mathbb{R}, a < x \leq b\}$$ - مثال: ]1-, 3-]
• الفترات غير المحدودة:
  • [a, ∞[: $$\{x: x \in \mathbb{R}, x \geq a\}$$ - مثال: [∞, 2[
  • ]-∞, a]: $$\{x: x \in \mathbb{R}, x \leq a\}$$ - مثال: ]3, -∞]
  • ]a, ∞[: $$\{x: x \in \mathbb{R}, x > a\}$$ - مثال: ]∞,7- [
  • ]-∞, a[: $$\{x: x \in \mathbb{R}, x < a\}$$ - مثال: ] 1, -∞[

العمليات على الفترات:

• الاتحاد (∪): يضم جميع العناصر في الفترتين.
• التقاطع (∩): يضم العناصر المشتركة بين الفترتين.
• الفرق (-): يضم العناصر الموجودة في الفترة الأولى وليست في الثانية.
• المكملة (X'): تضم جميع عناصر المجموعة الشاملة التي لا تنتمي للفترة.

العمليات على الأعداد الحقيقية (Operations on Real Numbers)

المفهوم:

• الحدود الجذرية المتشابهة: حدود تحتوي على جذور لها نفس دليل الجذر ونفس المجذور.
  • $$3\sqrt{2}$$ و $$-2\sqrt{2}$$ متشابهان
  • $$\sqrt[3]{5}$$ و $$-4\sqrt[3]{5}$$ متشابهان

إجراء العمليات الحسابية:

• الجمع والطرح: يتم جمع وطرح معاملات الحدود الجذرية المتشابهة.
  • $$\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$$
  • $$6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
• الضرب: يتم ضرب المعاملات والجذور معًا.
  • $$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$$
  • $$-2\sqrt{3} \times 5\sqrt{3} = -10 \times 3 = -30$$
• القسمة: يتم قسمة المعاملات والجذور.
  • $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$
  • $$\frac{10\sqrt[3]{7} \times (\sqrt[3]{5})^3}{-5\sqrt[3]{7}} = -10$$
• جعل المقام عددًا صحيحًا (إنطاق المقام): بضرب كل من البسط والمقام في الجذر الموجود في المقام.
  • $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
  • $$\frac{1}{2 + \sqrt{6}} = \frac{2 - \sqrt{6}}{-2}$$

خواص العمليات على الأعداد الحقيقية:

• الانغلاق: ناتج جمع أو ضرب أي عددين حقيقيين هو عدد حقيقي.
• الإبدال: $$a + b = b + a, \quad a \times b = b \times a$$
• الدمج: $$(a + b) + c = a + (b + c), \quad (a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$
• توزيع الضرب على الجمع: $$a(b + c) = ab + ac$$
• المحايد الجمعي: 0 ($$a + 0 = a$$)
• المحايد الضربي: 1 ($$a \times 1 = a$$)

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية (Laws of Square and Cube Roots)

أولاً: الجذور التربيعية:

• قوانين الضرب والقسمة: إذا كان \(a, b\) عددين حقيقيين غير سالبين:
  • $$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$$
  • $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$ (بشرط \(b \neq 0\))
• تبسيط الجذور التربيعية: بتحليل المجذور إلى حاصل ضرب عاملين أحدهما مربع كامل.
  • $$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

ثانياً: الجذور التكعيبية:

• قوانين الضرب والقسمة: إذا كان \(a, b\) عددين حقيقيين:
  • $$\sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \times b}$$
  • $$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$ (بشرط \(b \neq 0\))
• تبسيط الجذور التكعيبية: بتحليل المجذور إلى حاصل ضرب عاملين أحدهما مكعب كامل.
  • $$\sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4}$$

قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية (Laws of Exponents in Real Numbers)

المفهوم:

• الضرب المتكرر: $$a^n$$ تعبر عن حاصل ضرب العدد الحقيقي \(a\) في نفسه \(n\) من المرات (\(n\) عدد صحيح موجب).
  • $$(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$$

قوانين الأسس:

• الأس الصفري: أي عدد حقيقي (لا يساوي الصفر) مرفوع للأس صفر يساوي 1.
  • $$(\sqrt{23})^0 = 1$$
• الأس السالب: أي عدد حقيقي (لا يساوي الصفر) مرفوع للأس \(-n\) يساوي المعكوس الضربي للعدد نفسه مرفوع للأس \(n\).
  • $$(\sqrt{7})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{7}}$$
• قوانين الضرب:
  • عند ضرب القوى التي لها نفس الأساس، نحتفظ بالأساس ونجمع الأسس: $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
  • عند إيجاد قوة حاصل ضرب عددين، يوزع الأس على كل من العددين: $$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$
• قوانين القسمة:
  • عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس، نحتفظ بالأساس ونطرح الأسس: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
  • عند إيجاد قوة خارج قسمة عددين، يوزع الأس على العددين: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$