التحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر (ع. م. أ)
المصطلحات الأساسية:
- التحليل (Factorization): تحويل كثيرة الحدود إلى حاصل ضرب عاملين أو أكثر.
- وحيدة الحد (Monomial): تعبير رياضي يتكون من حد واحد.
- كثيرة الحدود (Polynomial): تعبير رياضي يتكون من حد واحد أو مجموع وحيدات حد.
- العامل المشترك الأكبر (GCF): أكبر عامل مشترك بين حدود كثيرة الحدود.
القوانين والقواعد:
- قاعدة التحليل بإخراج ع. م. أ: $$ax + ay = a(x + y)$$
- كيفية إيجاد ع. م. أ:
- إيجاد ع. م. أ للعوامل العددية
- أخذ كل متغير مكرر في كل الحدود بأصغر أس له
- حل المعادلات باستخدام التحليل: إذا كان $$a \times b = 0$$، فإن $$a = 0$$ أو $$b = 0$$
أمثلة تطبيقية:
مثال 1: حلل $$4x^2 + 10$$
ع. م. أ للعددين 4 و 10 هو 2. لا يوجد متغيرات مشتركة.
$$4x^2 + 10 = 2(2x^2 + 5)$$
مثال 2: حلل $$3x^2 + 6x$$
ع. م. أ للعددين 3 و 6 هو 3. ع. م. أ للمتغير $$x^2$$ و $$x$$ هو $$x$$.
ع. م. أ هو $$3x$$.
$$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$
مثال 3: حلل $$9a^2b - 6ab^2 + 3ab$$
ع. م. أ للأعداد 9، 6، 3 هو 3.
ع. م. أ للمتغيرات $$a^2b$$, $$ab^2$$, $$ab$$ هو $$ab$$.
ع. م. أ هو $$3ab$$.
$$9a^2b - 6ab^2 + 3ab = 3ab(3a - 2b + 1)$$
تحليل ثلاثية الحدود
المصطلحات الأساسية:
- معادلة تربيعية (Quadratic equation): معادلة على الصورة $$ax^2 + bx + c = 0$$ حيث a ≠ 0
القوانين والقواعد:
- تحليل ثلاثية الحدود على الصورة $$x^2 + bx + c$$:
- نبحث عن عددين صحيحين $$l, m$$ بحيث يكون حاصل ضربهما $$c$$ ومجموعهما $$b$$
- نكتب: $$x^2 + bx + c = (x + l)(x + m)$$
- إشارات:
- إذا كانت $$c$$ موجبة، فإن $$l, m$$ لهما نفس إشارة $$b$$
- إذا كانت $$c$$ سالبة، فإن $$l, m$$ مختلفان في الإشارة، وأكبرهما عدديًا له نفس إشارة $$b$$
أمثلة تطبيقية:
مثال 1: حلل $$x^2 + 8x + 15$$
العددان اللذان حاصل ضربهما 15 ومجموعهما 8 هما 3 و 5.
$$x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)$$
مثال 2: حلل $$x^2 + x - 20$$
العددان اللذان حاصل ضربهما -20 ومجموعهما 1 هما 5 و -4.
$$x^2 + x - 20 = (x + 5)(x - 4)$$
مثال 3: حلل $$4x^3 - 8x^2 - 60x$$
إخراج ع. م. أ: $$4x(x^2 - 2x - 15)$$
تحليل ثلاثية الحدود: $$4x(x - 5)(x + 3)$$
تحليل الحالات الخاصة
المصطلحات الأساسية:
- المربع الكامل (Perfect square): ثلاثية حدود يمكن كتابتها على صورة مربع ذي حدين
- الفرق بين مربعين (Difference of two squares): مقدار جبري على الصورة $$a^2 - b^2$$
- الفرق بين مكعبين (Difference of two cubes): مقدار جبري على الصورة $$a^3 - b^3$$
- مجموع مكعبين (Sum of two cubes): مقدار جبري على الصورة $$a^3 + b^3$$
القوانين والقواعد:
- تحليل ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً:
- الحد الأول مربع كامل
- الحد الثالث مربع كامل
- الحد الأوسط = $$\pm 2 \times \text{جذر الحد الأول} \times \text{جذر الحد الثالث}$$
- طريقة التحليل: $$(\text{جذر الحد الأول} \pm \text{جذر الحد الثالث})^2$$
- تحليل الفرق بين مربعين: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$
- تحليل الفرق بين مكعبين: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
- تحليل مجموع مكعبين: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
أمثلة تطبيقية:
مثال 1: حلل $$9x^2 + 12x + 4$$
الحد الأول $$9x^2$$ مربع كامل $$(3x)^2$$
الحد الثالث 4 مربع كامل $$(2)^2$$
الحد الأوسط $$12x = 2 \times 3x \times 2$$
$$9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2$$
مثال 2: حلل $$25x^2 - 36y^2$$
$$25x^2 - 36y^2 = (5x - 6y)(5x + 6y)$$
مثال 3: حلل $$8x^3 - 27$$
$$8x^3 - 27 = (2x - 3)((2x)^2 + (2x)(3) + (3)^2) = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$$
التحليل بالتقسيم
المصطلحات الأساسية:
- التحليل بالتقسيم (Factorizing by Grouping): طريقة لتحليل كثيرات الحدود التي تتكون من أربعة حدود أو أكثر
القوانين والقواعد:
- تحليل كثيرة الحدود المكونة من أربعة حدود:
- تقسيمها إلى ثنائيتي حدود
- إخراج العامل المشترك من كل ثنائية
- إخراج القوس المشترك
- تحليل ثلاثية الحدود باستخدام التقسيم:
- أوجد عددين حاصل ضربهما $$a \times c$$ ومجموعهما $$b$$
- أعد كتابة $$bx$$ في صورة ناتج جمع هذين العاملين
- استخدم التحليل بالتقسيم
أمثلة تطبيقية:
مثال 1: حلل $$ax - 7a + 4x - 28$$
$$(ax - 7a) + (4x - 28) = a(x - 7) + 4(x - 7) = (x - 7)(a + 4)$$
مثال 2: حلل $$2x^2 + 7x + 6$$
عددان حاصل ضربهما $$2 \times 6 = 12$$ ومجموعهما 7. العددان هما 3 و 4.
$$2x^2 + 4x + 3x + 6 = (2x^2 + 4x) + (3x + 6) = 2x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(2x + 3)$$
تمارين تطبيقية
اختبر فهمك للوحدة من خلال هذه التمارين: