بنك المسائل والتمارين المحلولة

باستخدام خاصية حاصيل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين (المقص):

\(x \times 15 = 12 \times 5\)

\(x = \frac{12 \times 5}{15} = \frac{60}{15} = 4\)

النتيجة النهائية: \(x = 4\).

1. القانون: \(\text{مقياس الرسم} = \frac{\text{الطول في الرسم}}{\text{الطول الحقيقي}}\)

2. نعوض القيم: \(\frac{1}{500000} = \frac{6}{\text{الطول الحقيقي}}\)

3. الطول الحقيقي بالسنتيمترات = \(6 \times 500000 = 3,000,000\text{ سم}\)

4. للتحويل من سنتيمتر إلى كيلومتر، نقسم على \(100,000\):

\(\text{البعد الحقيقي} = \frac{3,000,000}{100,000} = 30\text{ كم}\)

1. مجموع الأجزاء = \(2 + 3 + 5 = 10\text{ أجزاء}\)

2. قيمة الجزء الواحد = \(\frac{1500}{10} = 150\text{ جنيه}\)

3. نصيب الأول = \(2 \times 150 = 300\text{ جنيه}\)

4. نصيب الثاني = \(3 \times 150 = 450\text{ جنيه}\)

5. نصيب الثالث = \(5 \times 150 = 750\text{ جنيه}\)

التحقق: \(300 + 450 + 750 = 1500\text{ جنيه}\) (إجابة صحيحة).

مقدار الخصم = \(\text{المبلغ الأصلي} \times \frac{\text{نسبة الخصم}}{100}\)

\(\text{الخصم} = 4000 \times \frac{15}{100} = 600\text{ جنيه}\)

السعر النهائي بعد الخصم سيكون \(4000 - 600 = 3400\text{ جنيه}\).

1. التقاطع (\(A \cap B\)): العناصر المشتركة في كلي المجموعتين:

\(A \cap B = \{3, 4\}\)

2. الاتحاد (\(A \cup B\)): جميع العناصر بدون تكرار:

\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)

3. الفرق (\(A - B\)): العناصر الموجودة في \(A\) وليست في \(B\):

\(A - B = \{1, 2, 5\}\)

1. تفكيك القيمة المطلقة: \(|-7| = 7\)

2. إجراء عملية القسمة: \((-18) \div 3 = -6\)

3. إجراء عملية الضرب: \(7 \times (-2) = -14\)

4. الجمع النهائي: \((-6) + (-14) = -20\)

النتيجة في الفراغ: -20

1. لاحظ تكرار الكسر \(\frac{5}{7}\)، ونكتفي بإعادته كعامل مشترك مع تذكر أن الحد الأخير \(- \frac{5}{7} = - \frac{5}{7} \times 1\):

\(=\frac{5}{7} \times (8 + 7 - 1)\)

2. نحسب ما داخل القوسين: \(8 + 7 - 1 = 14\)

\(=\frac{5}{7} \times 14 = 5 \times 2 = 10\)

النتيجة النهائية = 10.

الصورة القياسية تكون على الشكل \(a \times 10^n\) حيث \(1 \le |a| < 10\).

نحرك العلامة العشرية جهة اليمين 4 خانات لتصبح بين 7 و 3:

\(7.3 \times 10^{-4}\)

النتيجة: \(7.3 \times 10^{-4}\).

درجة الحد الجبري هي مجموع أسس الرموز المتغيرة فيه:

\(\text{الأسس} = 2 \; (\text{للرمز } x) + 3 \; (\text{للرمز } y) + 1 \; (\text{للرمز } z) = 6\)

إذن الحد من الدرجة السادسة، ومعامله هو \(-7\).

نجمع الحدود المتشابهة معاً:

1. حد \(x^2\): \(4x^2 + 2x^2 = 6x^2\)

2. حد \(xy\): \(-3xy + 7xy = +4xy\)

3. حد \(y^2\): \(5y^2 + (-2y^2) = +3y^2\)

المجموع = \(6x^2 + 4xy + 3y^2\)

معنى "ما زيادة الأول عن الثاني" = الأول - الثاني:

\(\text{الزيادة} = (5a + 2b - 3) - (2a - 3b + 4)\)

نوزع إشارة السالب على المقدار الثاني:

\( = 5a + 2b - 3 - 2a + 3b - 4 \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\((5a - 2a) + (2b + 3b) + (-3 - 4) = 3a + 5b - 7\)

القانون: \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\)

1. مربع الأول: \((3x)^2 = 9x^2\)

2. الأول × الثاني × 2: \(3x \times (-2) \times 2 = -12x\)

3. مربع الثاني: \((-2)^2 = +4\)

النتيجة: \(9x^2 - 12x + 4\)

نقسم كل حد من حدود المقدار على الحد المقسوم عليه:

1. \(\frac{15x^3 y^2}{5x^2 y^2} = 3x\)

2. \(\frac{-10x^2 y^3}{5x^2 y^2} = -2y\)

3. \(\frac{5x^2 y^2}{5x^2 y^2} = +1\)

خارج القسمة = \(3x - 2y + 1\)

1. بإضافة 7 للطرفين (أو نقل -7 بعكس الإشارة):

\(3x = 11 + 7 \implies 3x = 18\)

2. بالقسمة على 3 للطرفين:

\(x = \frac{18}{3} = 6\)

مجموعة الحل م.ح = \(\{6\}\).

1. نكّون الفرض: افرض أن العدد الأول هو \(x\)، فيكون الثاني \(x + 2\)، والثالث \(x + 4\).

2. نكّون المعادلة من المجموع:

\(x + (x + 2) + (x + 4) = 57\)

\(3x + 6 = 57 \implies 3x = 51 \implies x = 17\)

3. التعويض لإيجاد الأعداد الثلاثة:

العدد الأول = 17، الثاني = 19، الثالث = 21.

التحقق: \(17 + 19 + 21 = 57\) (صحيح).

1. الشكل الرباعي \(ABCD\) مجموع قياسات زواياه الداخلية = \(360^\circ\).

2. نكوّن المعادلة بجمع الزوايا المعطاة:

\(x + 2x + 120 + 3x = 360\)

3. نجمع الحدود المتشابهة:

\(6x + 120 = 360\)

4. نطرح 120 من الطرفين:

\(6x = 240\)

5. نقسم على 6:

\(x = \frac{240}{6} = 40\)

التحقق: \(40 + 80 + 120 + 120 = 360^\circ\) (صحيح).

1. الزاويتان المتتامتان مجموع قياسيهما \(90^\circ\):

\(m(\angle B) = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)

2. الزاويتان المتكاملتان مجموع قياسيهما \(180^\circ\):

\(\text{مكملة } \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)

بما أن مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة واحدة يساوي \(360^\circ\):

\(m(\angle AOD) = 360^\circ - (110^\circ + 90^\circ + 80^\circ)\)

\(m(\angle AOD) = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ\)

إذن قياس الزاوية المطلوبة = \(80^\circ\).

1. المعطيات: \(AB \parallel CD\)، والمستقيم \(EF\) قاطع لهما.

2. الزاويتان \(\angle AMN\) و \(\angle MND\) في وضع تبادل (على شكل حرف Z).

3. بما أن المستقيمين متوازيان، فإن كل زاويتين متبادلتين متساويتان في القياس:

\(m(\angle MND) = m(\angle AMN) = 65^\circ \quad (\text{بالتبادل})\)

1. المثلث المتساوي الأضلاع قياس كل زاوية من زواياه الداخلية = \(60^\circ\).

2. قياس الزاوية الخارجة = مجموع قياسي الزاويتين الداخلتين ما عدا المجاورة لها (أو المكملة للمجاورة):

\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)

من خواص متوازي الأضلاع:

1. كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس:

\(m(\angle C) = m(\angle A) = 75^\circ\)

2. كل زاويتين متتاليتين متكاملتان (مجموعهما \(180^\circ\)):

\(m(\angle B) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\)

\(m(\angle D) = m(\angle B) = 105^\circ\)

قانون مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه \(n\) هو:

S = (n - 2) \times 180^\circ

بالتعويض عن الثماني (\(n = 8\)):

S = (8 - 2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ

النتيجة: 1080 درجة.

المعطيات: الشكل \(ABCD\) معين، وقياس \(\angle BDC = 65^\circ\) (كما هو موضح في الشكل).

أولاً: خواص المعين التي نستخدمها:

1. جميع أضلاع المعين متساوية في الطول: \(AB = BC = CD = DA\).

2. كل زاويتين متقابلتين في المعين متساويتان في القياس.

3. كل زاويتين متجاورتين (متتاليتين) متكاملتان، أي مجموعهما \(180^\circ\).

ثانياً: التطبيق على الشكل:

1. بما أن \(ABCD\) معين، فإن \(AD = AB\)، إذن المثلث \(ABD\) متساوي الساقين رأسه \(A\).

2. في المثلث \(ABD\): القاعدة هي \(BD\)، والزاويتان المجاورتان للقاعدة متساويتان:

\(m(\angle ADB) = m(\angle ABD) = 65^\circ\)

3. مجموع زوايا المثلث \(ABD\) = \(180^\circ\)، إذن:

\(m(\angle A) = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ)\)

\(m(\angle A) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\)

ثالثاً: التحقق من صحة الحل:

الزاويتان المتقابلتان متساويتان، إذن \(m(\angle C) = m(\angle A) = 50^\circ\).

والزاويتان \(B\) و \(D\) متساويتان ومتكاملتان مع \(A\):

\(m(\angle B) = m(\angle D) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)

\(50^\circ + 130^\circ + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ\) ✔

النتيجة النهائية: \(m(\angle A) = 50^\circ\).

المعطيات من الشكل:

1. مستقيم يمر بالنقطة \(A\) ويوازي الضلع \(CB\).

2. قياس \(\angle C = 50^\circ\).

3. الزاوية في الأعلى عند النقطة \(A\) (خارج المثلث) تساوي \(40^\circ\).

4. قياس الزاوية الداخلية عند \(A\) يساوي \(2x\).

5. قياس الزاوية عند الرأس \(B\) يساوي \(y\).

ثانياً: إيجاد قيمة \(y\) (باستخدام التوازي):

بما أن المستقيم المار بالنقطة \(A\) يوازي الضلع \(CB\)، والمستقيم \(AB\) قاطع لهما، فإن الزاوية \(40^\circ\) والزاوية \(y\) زاويتان متبادلتان (على شكل حرف Z):

\(y = 40^\circ\)

ثالثاً: إيجاد قيمة \(x\) (باستخدام مجموع زوايا المثلث):

في المثلث \(ABC\)، مجموع الزوايا الداخلية = \(180^\circ\):

\(m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ\)

\(2x + y + 50^\circ = 180^\circ\)

نعوض \(y = 40^\circ\):

\(2x + 40^\circ + 50^\circ = 180^\circ\)

\(2x + 90^\circ = 180^\circ\)

\(2x = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)

\(x = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\)

رابعاً: التحقق النهائي:

\(2(45^\circ) + 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) ✔

النتيجة النهائية: \(x = 45^\circ\) و \(y = 40^\circ\).

القانون: \(\text{الوسط الحسابي} = \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عدد القيم}}\)

\(\text{الوسط} = \frac{4 + 7 + 9 + 12 + 18}{5} = \frac{50}{5} = 10\)

1. حساب الوسيط:

نرتب القيم تصاعدياً: \(8, 11, 14, 14, 15, 19, 22\)

عدد القيم هو 7 (عدد فردي)، القيمة الوسطى هي القيمة الرابعة:

\(\text{الوسيط} = 14\)

2. حساب المنوال:

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً وشيوعاً، ونلاحظ تكرار العدد 14 مرتين:

\(\text{المنوال} = 14\)

قياس الزاوية المركزية لأي قطاع = \(\text{النسبة المئوية} \times 360^\circ\)

1. زاوية النشاط الرياضي (\(40\%\)):

\(\text{الزاوية} = \frac{40}{100} \times 360^\circ = 144^\circ\)

2. زاوية النشاط الثقافي (\(30\%\)):

\(\text{الزاوية} = \frac{30}{100} \times 360^\circ = 108^\circ\)

1. نكتب القيم من المخطط: \(13, 14, 22, 23, 23, 25, 37, 38, 39, 45\)

2. عدد القيم = 10 (عدد زوجي)، إذن الوسيط = متوسط القيمتين الخامسة والسادسة.

3. القيمة الخامسة = 23، القيمة السادسة = 25.

\(\text{الوسيط} = \frac{23 + 25}{2} = \frac{48}{2} = 24\)

القانون: \(\text{الوسط الحسابي} = \frac{\sum (x \times f)}{\sum f}\)

1. نحسب مجموع (القيمة × التكرار):

\(\sum (x \times f) = (8 \times 6) + (9 \times 8) + (10 \times 14) + (11 \times 8) + (12 \times 4)\)

\(= 48 + 72 + 140 + 88 + 48 = 396\)

2. نحسب مجموع التكرارات:

\(\sum f = 6 + 8 + 14 + 8 + 4 = 40\)

3. نحسب الوسط الحسابي:

\(\text{الوسط} = \frac{396}{40} = 9.9\)

النتيجة: الوسط الحسابي = 9.9 ساعات.

1. نكمل الجدول بإيجاد حاصل ضرب \(x \times f\) لكل صف:

\(5 \times 4 = 20\)

\(8 \times 2 = 16\)

\(9 \times 6 = 54\)

\(10 \times 8 = 80\)

\(12 \times 5 = 60\)

2. نحسب مجموع \(x \times f\):

\(20 + 16 + 54 + 80 + 60 = 230\)

3. نحسب المتوسط:

\(\text{المتوسط} = \frac{230}{25} = 9.2\)

النتيجة: متوسط أعمار الأطفال = 9.2 سنة.