نموذج الإجابة النموذجية

( اختبار الرياضيات - المعادلات الأسية )

1. 1) الحل:
   نحول العدد 4 إلى أساس 2:
   \((2^2)^{x+1} = 2^x \implies 2^{2x+2} = 2^x\)
   نساوي الأسس: \(2x + 2 = x\)
   نجمع المتغيرات: \(2x - x = -2 \implies x = -2\)
2. 2) الحل:
   أي عدد أس صفر يساوي 1 (ما عدا الصفر):
   \(25^{x^2 - 9} = 25^0\)
   نساوي الأسس: \(x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9\)
   بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: \(x = \pm 3\)
3. 3) الحل:
   نحول 81 إلى أساس 3: \(81 = 3^4\)
   \(3^{x^2} = (3^4)^{3-x} \implies 3^{x^2} = 3^{12 - 4x}\)
   نساوي الأسس: \(x^2 = 12 - 4x \implies x^2 + 4x - 12 = 0\)
   بالتحليل: \((x + 6)(x - 2) = 0\)
   إما \(x = -6\) أو \(x = 2\)
4. 4) الحل:
   نفكك المقامات والأعداد المركبة: \(27 = 3^3\) و \(21 = 3 \times 7\)
   \(\frac{7^n \times (3^3)^{n+1}}{(3 \times 7)^n} = 3^n \implies \frac{7^n \times 3^{3n+3}}{3^n \times 7^n} = 3^n\)
   نختصر \(7^n\) من البسط والمقام:
   \(\frac{3^{3n+3}}{3^n} = 3^n \implies 3^{(3n+3)-n} = 3^n \implies 3^{2n+3} = 3^n\)
   نساوي الأسس: \(2n + 3 = n \implies 2n - n = -3 \implies n = -3\)
5. 5) الحل:
   \(15 = 3 \times 5 \implies 15^{2n-1} = 3^{2n-1} \times 5^{2n-1}\)
   \(\frac{3^{2n-1} \times 5^{2n-1}}{3^n \times 5^n} = 1 \implies 3^{(2n-1)-n} \times 5^{(2n-1)-n} = 1\)
   \(3^{n-1} \times 5^{n-1} = 1 \implies (15)^{n-1} = 15^0\)
   نساوي الأسس: \(n - 1 = 0 \implies n = 1\)

1. 6) الحل: \(11^{x-3} = 11^0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3\) (الإجابة الصحيحة: د).
2. 7) الحل: \(2^{2x-1} = 2^3 \implies 2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2\).
3. 8) الحل: \(5^{2x-1} = 125^{-1} = (5^3)^{-1} = 5^{-3}\)
   \(2x - 1 = -3 \implies 2x = -2 \implies x = -1\).
4. 9) الحل:
   \(\frac{5^n \times (7^2)^n}{(5 \times 7)^n} = 343 \implies \frac{5^n \times 7^{2n}}{5^n \times 7^n} = 7^3 \implies 7^{2n-n} = 7^3 \implies 7^n = 7^3 \implies n = 3\)
   مجموعة الحل = \(\{3\}\).
5. 10) الحل: \((2^{-3})^{x/2} = 2^7 \implies 2^{-\frac{3x}{2}} = 2^7\)
   \(-\frac{3x}{2} = 7 \implies -3x = 14 \implies x = -\frac{14}{3}\)
   مجموعة الحل = \(\{-\frac{14}{3}\}\).

1. 11) الحل: \(x - 6 = 0 \implies x = 6\) (الإجابة الصحيحة: ب).
2. 12) الحل: \(6^{2x-1} = 6^2 \implies 2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}\).
3. 13) الحل: \(7^{2x-1} = 7^{-2} \implies 2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}\).
4. 14) الحل:
   \(\frac{(4^2)^n \times (3^2)^n}{(4 \times 9)^n} = \frac{4^{2n} \times 9^n}{4^n \times 9^n} = 4^n\)
   \(4^n = 64 \implies 4^n = 4^3 \implies n = 3\)
   مجموعة الحل = \(\{3\}\).
5. 15) الحل: \((3^{-2})^{x/2} = 3^4 \implies 3^{-x} = 3^4 \implies -x = 4 \implies x = -4\)
   مجموعة الحل = \(\{-4\}\).

1. 16) الحل: \(x - 5 = 0 \implies x = 5\) (الإجابة الصحيحة: ب).
2. 17) الحل: \(6^{2x-1} = 6^2 \implies 2x - 1 = 2 \implies x = \frac{3}{2}\).
3. 18) الحل: \(9^{2x-1} = 9^{-2} \implies 2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}\).
4. 19) الحل:
   \(\frac{7^n \times (3^3)^n}{(3 \times 7)^n} = \frac{7^n \times 3^{3n}}{3^n \times 7^n} = 3^{2n}\)
   \(3^{2n} = 81 \implies 3^{2n} = 3^4 \implies 2n = 4 \implies n = 2\)
   مجموعة الحل = \(\{2\}\).
5. 20) الحل: \((4^{-1})^{x-2} = 4^3 \implies 4^{-x+2} = 4^3\)
   \(-x + 2 = 3 \implies -x = 1 \implies x = -1\)
   مجموعة الحل = \(\{-1\}\).