نموذج الإجابة النموذجية

( اختبار الرياضيات - دوال الكسور الجبرية النسبية )

1. 1) الحل:
   نضع المقام مساوياً للصفر: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
   بالتحليل: \((x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2\) أو \(x = 3\)
   القيم التي تجعل المقام صفراً هي: \(\{2, 3\}\)
   المجال الآمن للدالة هو: \(R - \{2, 3\}\)
2. 2) الحل:
   تكون الدالة مساوية للصفر عند أصفار البسط التي لا تصفر المقام.
   أصفار البسط: \(x^2 - 9 = 0 \implies (x - 3)(x + 3) = 0 \implies x = 3\) أو \(x = -3\)
   بما أن \(x = 3\) تجعل المقام صفراً (مستبعدة من المجال)، فإن الرقم الوحيد الذي يجعل الدالة تساوي صفراً هو: \(x = -3\).
3. 3) الحل:
   الكسر يكون غير معرف عندما يكون المقام \(= 0\).
   \(x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1\) أو \(x = 2\).
   مجموعة القيم: \(\{1, 2\}\).
4. 4) الحل:
   نضع المقام \(= 0 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0 \implies x = -3\) أو \(x = 2\)
   المجال: \(R - \{-3, 2\}\)
   حساب \(f(0)\): بما أن \(0\) ينتمي للمجال:
   \(f(0) = \frac{0^2 - 2(0)}{0^2 + 0 - 6} = \frac{0}{-6} = 0\)
5. 5) الحل:
   بتحليل البسط والمقام: \(f(x) = \frac{(x + 5)(x - 3)}{(x - 2)(x - 3)}\)
   المجال: \(R - \{2, 3\}\)
   بالاختصار: \(f(x) = \frac{x + 5}{x - 2}\)

1. 6) الحل: بما أن المجال هو \(R - \{2\}\)، فإن المقام يصبح صفراً عند \(x = 2 \implies 2 - a = 0 \implies \mathbf{a = 2}\).
2. 7) الحل: \(x^2 - x - 12 = 0 \implies (x - 4)(x + 3) = 0 \implies \mathbf{\{4, -3\}}\).
3. 8) الحل:
   المقام: \(x^2 - x - 6 = 0 \implies (x - 3)(x + 2) = 0 \implies\) المجال \(= \mathbf{R - \{3, -2\}}\)
   باختصار الدالة: \(f(x) = \frac{(x + 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{x + 3}{x - 3}\)
   حساب \(f(1) = \frac{1 + 3}{1 - 3} = \frac{4}{-2} = \mathbf{-2}\)
4. 9) الحل:
   \(g(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)}\)
   المجال: \(\mathbf{R - \{2, -1\}}\)
   أبسط صورة: \(g(x) = \mathbf{\frac{x + 2}{x + 1}}\)
5. 10) الحل:
   \(f(x) = \frac{x(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)}\)
   أصفار البسط \(= \{0, 5\}\)، وأصفار المقام \(= \{5, -5\}\)
   مجموعة أصفار الدالة: \(\mathbf{Z(f) = \{0\}}\) (لأن 5 مستبعدة).

1. 11) الحل: \(5 - a = 0 \implies \mathbf{a = 5}\).
2. 12) الحل: \(x^2 - 16 = 0 \implies \mathbf{\{4, -4\}}\).
3. 13) الحل:
   \(x^2 - 6x + 8 = 0 \implies (x - 4)(x - 2) = 0 \implies\) المجال \(= \mathbf{R - \{4, 2\}}\)
   \(f(4)\) غير ممكنة لأن \(4 \notin\) المجال.
4. 14) الحل:
   \(f(x) = \frac{(2x - 1)(x + 3)}{(x + 3)(x - 2)}\)
   المجال: \(\mathbf{R - \{-3, 2\}}\)
   أبسط صورة: \(f(x) = \mathbf{\frac{2x - 1}{x - 2}}\)
5. 15) الحل:
   \(h(x) = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}\)
   أصفار البسط \(= \{1\}\)، أصفار المقام \(= \{1, -1\}\)
   مجموعة أصفار الدالة: \(\mathbf{\phi}\) (مجموعة خالية).

1. 16) الحل: أصفار البسط \(\{2\}\)، أصفار المقام \(\{2, -2\} \implies \mathbf{\phi}\).
2. 17) الحل: \(x^2 + 4 = 0\) ليس لها حلول في \(R \implies \mathbf{\phi}\).
3. 18) الحل:
   \(x^2 - 10x + 25 = 0 \implies (x - 5)^2 = 0 \implies\) المجال \(= \mathbf{R - \{5\}}\)
   \(f(x) = \frac{3(x - 5)}{(x - 5)^2} = \frac{3}{x - 5}\)
   \(f(2) = \frac{3}{2 - 5} = \frac{3}{-3} = \mathbf{-1}\)
4. 19) الحل:
   \(f(x) = \frac{2x}{x(x - 2)}\)
   المجال: \(\mathbf{R - \{0, 2\}}\)
   أبسط صورة: \(f(x) = \mathbf{\frac{2}{x - 2}}\)
5. 20) الحل:
   المجال \(= R - \{3\}\)
   \(g(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3\)
   \(x + 3 = 8 \implies x = 5\)
   بما أن \(5 \in\) المجال، فإن مجموعة الحل هي \(\mathbf{\{5\}}\).