03
الصف الثالث الابتدائي
المرحلة الابتدائية · أول الطريق
✖️ مفهوم الضرب والجداول
الضرب ده جمع متكرر. يعني \(3 \times 4\) معناها إنك بتجمع 3 أربع مرات:
\(3+3+3+3 = 12\). لازم تحفظ جداول الضرب من 1 لـ 9 كويس.
القانون الأساسي
\( a \times b \)
= تكرار جمع (أ) عدد (ب) من المرات
خاصية الإبدال
\(a \times b = b \times a\)خاصية التجميع
\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)خاصية التوزيع
\(a(b+c) = ab + ac\)الضرب في الصفر
\(a \times 0 = 0\)➗ مفهوم القسمة
القسمة عكس الضرب. لو عندك 12 حاجة وقسمتهم على 3، هتاخد 4 في كل مجموعة.
المقسوم ÷ المقسوم عليه = الخارج
المقسوم ÷ المقسوم عليه = الخارج
\[ \dfrac{a}{b} = c \iff b \times c = a \]
⚠️
القسمة على صفر مستحيلة — مش موجودة في الرياضيات خالص!
🍕 مفهوم الكسر كجزء من الكل
الكسر بيوصف جزء من شيء كامل. البسط هو الجزء اللي عندك، والمقام هو عدد الأجزاء الكلية.
\(\dfrac{?}{?}\)
= البسط (الجزء) ÷ المقام (الكل)
📐 المحيط والمساحة — شكل مستطيل ومربع
محيط المستطيل
\(P = 2(l + w)\)مساحة المستطيل
\(A = l \times w\)محيط المربع
\(P = 4 \times s\)مساحة المربع
\(A = s^2\)
💡
المحيط = المسافة حول الشكل كله (سنتيمتر أو متر). المساحة = الفراغ جوّاه (سم² أو م²).
04
الصف الرابع الابتدائي
المرحلة الابتدائية · نوسّع الأعداد
🔢 الأعداد الكبيرة والقيمة المكانية
كل رقم في العدد له قيمة مكانية حسب موقعه.
الآحاد، العشرات، المئات، الألوف، عشرات الألوف، المئات الألوف، الملايين...
| الموقع | المليون | مئات الألوف | عشرات الألوف | الألوف | المئات | العشرات | الآحاد |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| القيمة | \(10^6\) | \(10^5\) | \(10^4\) | \(10^3\) | \(10^2\) | \(10^1\) | \(10^0\) |
✖️ الضرب في عدد من رقمين
عشان تضرب في عدد من رقمين، بتضرب كل رقم على حدة وبتراعي القيمة المكانية.
- اضرب الرقم الأيمن (الآحاد) في العدد كله
- اضرب الرقم الأيسر (العشرات) في العدد كله — ابدأ من خانة العشرات
- اجمع الناتجين مع بعض
EXAMPLE
\(47 \times 23\):\(47 \times 3 = 141\)
\(47 \times 20 = 940\)
\(141 + 940 = 1081\)
🔟 الكسور العشرية — مقارنة وترتيب
الكسر العشري بيعبّر عن أجزاء من الواحد الصحيح باستخدام الفاصلة العشرية.
\(0.5 = \frac{1}{2}\) ، \(0.25 = \frac{1}{4}\) ، \(0.1 = \frac{1}{10}\)
💡
عشان تقارن كسرين عشريين، اعمل المقامات متساوية أو قارن من اليسار رقم برقم بعد الفاصلة.
📐 الزوايا وتصنيفها
| نوع الزاوية | القياس |
|---|---|
| حادة (Acute) | \(0° < \theta < 90°\) |
| قائمة (Right) | \(\theta = 90°\) |
| منفرجة (Obtuse) | \(90° < \theta < 180°\) |
| مستقيمة (Straight) | \(\theta = 180°\) |
| منعكسة (Reflex) | \(180° < \theta < 360°\) |
05
الصف الخامس الابتدائي
المرحلة الابتدائية · الكسور والفضاء
🔢 العمليات على الكسور الاعتيادية
الكسر الاعتيادي شكله \(\frac{a}{b}\). في الجمع والطرح لازم المقام يبقى واحد. في الضرب والقسمة الأمور أبسط!
| العملية | القانون | شرط |
|---|---|---|
| الجمع/الطرح | \(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}\) | وحّد المقامات أولاً |
| الضرب | \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\) | — |
| القسمة | \(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\) | اقلب الكسر الثاني |
📦 حجم المجسمات
الحجم هو مقدار الفراغ اللي بيشغله جسم ما. بنقيسه بالوحدات المكعبة (سم³ أو م³).
حجم المكعب / Cube
\(V = s^3\)متوازي المستطيلات
\(V = l \times w \times h\)🗺️ المستوى الإحداثي — أول لقاء
المستوى الإحداثي فيه خطين متعامدين: المحور الأفقي x والمحور الرأسي y. كل نقطة بتتحدد بزوج \((x, y)\).
النقطة
\( P = (x,\; y) \)
💡
ابدأ دايمًا من نقطة الأصل (0,0) — امشي يمين أو شمال على x الأول، وبعدين فوق أو تحت على y.
06
الصف السادس الابتدائي
المرحلة الابتدائية · بوابة الجبر
🔑 العوامل والمضاعفات — ع.م.أ و م.م.أ
ع.م.أ (GCF): أكبر عدد بيقسم العددين بدون باقي.
م.م.أ (LCM): أصغر عدد بينقسم على العددين.
م.م.أ (LCM): أصغر عدد بينقسم على العددين.
ع.م.أ(أ،ب)
\( \times \)
م.م.أ(أ،ب)
\( = a \times b \)
EXAMPLE
ع.م.أ(12، 18) = 6 ، م.م.أ(12، 18) = 36تحقق: \(6 \times 36 = 216 = 12 \times 18\) ✓
➕➖ الأعداد الصحيحة (الموجبة والسالبة)
الأعداد الصحيحة: \(\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\)
على خط الأعداد: اليمين = موجب، اليسار = سالب.
الجمع/الطرح
اتبع الإشارة الأكبر قيمةضرب موجب × موجب
\(+ \times + = +\)ضرب سالب × سالب
\(- \times - = +\)ضرب موجب × سالب
\(+ \times - = -\)⚖️ النسبة والمعدل والنسبة المئوية
النسبة: مقارنة بين كميتين من نفس النوع. \(\frac{a}{b}\) أو \(a : b\)
المعدل: مقارنة بين كميتين من نوع مختلف (مثل كم/ساعة).
النسبة المئوية %: النسبة من أصل 100.
المعدل: مقارنة بين كميتين من نوع مختلف (مثل كم/ساعة).
النسبة المئوية %: النسبة من أصل 100.
\( \% = \dfrac{\Box}{\Box} \times 100 \)
(الجزء ÷ الكل) × 100
EXAMPLE
طالب أجاب 18 سؤال من 24 — ما النسبة المئوية؟\(\frac{18}{24} \times 100 = 75\%\)
🔤 تمهيد الجبر — التعبيرات والمعادلات
المتغير: حرف بيمثل عدد مجهول (زي x أو y).
التعبير الجبري: تركيبة من أعداد ومتغيرات (زي \(3x + 5\)).
المعادلة: تعبيرين متساويين (زي \(3x + 5 = 14\)).
التعبير الجبري: تركيبة من أعداد ومتغيرات (زي \(3x + 5\)).
المعادلة: تعبيرين متساويين (زي \(3x + 5 = 14\)).
\[ 3x + 5 = 14 \implies x = 3 \]
💡
المعادلة زي الميزان — أي حاجة بتعملها في الجهة اليمين لازم تعملها في اليسار كمان للحفاظ على التساوي.
07
الصف الأول الإعدادي
المرحلة الإعدادية · يبدأ الجبر الحقيقي
ℚ الأعداد النسبية والعمليات عليها
العدد النسبي هو أي عدد ممكن يتكتب في شكل \(\frac{p}{q}\) حيث \(p, q \in \mathbb{Z}\) و \(q \neq 0\).
العمليات عليها زي الكسور العادية تمامًا.
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{Z},\; q \neq 0 \right\} \]
📝 الحدود والمقادير الجبرية
الحد (Term): عدد أو حرف أو ضربهم (زي \(3x^2\)).
المقدار الجبري (Expression): حدود متصلة بعمليات (زي \(2x^2 + 3x - 5\)).
الدرجة: أعلى أس للمتغير في المقدار.
المقدار الجبري (Expression): حدود متصلة بعمليات (زي \(2x^2 + 3x - 5\)).
الدرجة: أعلى أس للمتغير في المقدار.
حدود متشابهة
نفس المتغير بنفس الأس — بتجمعهمحدود غير متشابهة
مختلفة — مش ممكن تجمعهممثال
\(3x + 5x = 8x\)مثال
\(3x + 5y\) — لا يُجمع🔓 التحليل بإخراج العامل المشترك الأعلى
ابحث عن أكبر عدد وأعلى أس مشترك بين كل الحدود، واخرجه خارج القوس.
\[ ax + ay + az = a(x + y + z) \]
EXAMPLE
\(6x^3 + 9x^2 - 3x = 3x(2x^2 + 3x - 1)\)
⚖️ حل المعادلات والمتباينات في \(\mathbb{Q}\)
المتباينة زي المعادلة بس بدل = بنستخدم < أو > أو ≤ أو ≥. انتبه: لو قسمت أو ضربت في عدد سالب، اعكس اتجاه المتباينة!
\[ ax > b \implies x > \frac{b}{a} \quad (a > 0) \]
⚠️
لو ضربت أو قسمت في عدد سالب — اعكس الإشارة: مثلاً \(-2x < 6 \implies x > -3\)
📐 أساسيات الهندسة — الزوايا والمثلثات
مجموع زوايا المثلث
\(A + B + C = 180°\)زوايا متحالفة
متساوية — خطوط متوازيةزوايا متبادلة
متساوية — خطوط متوازيةالزاوية الخارجية
= مجموع الزاويتين البعيدتين
الزاوية الخارجية
\( = \angle A + \angle B \)
08
الصف الثاني الإعدادي
المرحلة الإعدادية · الأعداد الحقيقية والتشابه
ℝ الأعداد الحقيقية ومنظومتها
الأعداد الحقيقية هي أشمل مجموعة بنتعامل معها — بتشمل النسبية (زي \(\frac{1}{2}\)) وغير النسبية (زي \(\sqrt{2}\) و \(\pi\)).
| المجموعة | الرمز | أمثلة | هل موجود؟ |
|---|---|---|---|
| الطبيعية | \(\mathbb{N}\) | \(0,1,2,3\ldots\) | ✓ دايمًا |
| الصحيحة | \(\mathbb{Z}\) | \(\ldots,-2,-1,0,1,2\ldots\) | ✓ |
| النسبية | \(\mathbb{Q}\) | \(\frac{3}{4}, 0.5, -2\) | ✓ |
| غير النسبية | \(\mathbb{Q'}\) | \(\sqrt{2}, \pi, \sqrt{5}\) | ✓ |
| الحقيقية | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'}\) | ✓ |
🔧 التحليل الجبري — الصور الكاملة
| الصيغة | التحليل |
|---|---|
| \(a^2 - b^2\) | \((a+b)(a-b)\) |
| \((a+b)^2\) | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| \((a-b)^2\) | \(a^2 - 2ab + b^2\) |
| \(a^3 + b^3\) | \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\) |
| \(a^3 - b^3\) | \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\) |
| \(x^2 + (a+b)x + ab\) | \((x+a)(x+b)\) |
⚡ قوانين الأسس (Exponent Laws)
Multiply
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)Divide
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)Power
\((a^m)^n = a^{mn}\)Zero
\(a^0 = 1,\ a \neq 0\)Negative
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)Fractional
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)📈 معادلة الدرجة الثانية — الحل البياني
رسم \(y = ax^2 + bx + c\) يعطي منحنى شكله قطع مكافئ (Parabola).
جذور المعادلة هي نقاط تقاطعه مع محور \(x\).
a > 0
فتحة القطع للأعلى ∪a < 0
فتحة القطع للأسفل ∩رأس القطع
\(x_v = \dfrac{-b}{2a}\)محور التماثل
\(x = \dfrac{-b}{2a}\)📐 نظرية فيثاغورس (Pythagorean Theorem)
في المثلث القائم: مجموع مربعي الضلعين القائمين = مربع الوتر.
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
حيث \(c\) هو الوتر (أطول ضلع — في مقابل الزاوية القائمة).
EXAMPLE
مثلث أضلاعه 3 و 4 — ما طول الوتر؟\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)
💡
أشهر ثلاثيات فيثاغورس: (3،4،5) — (5،12،13) — (8،15،17) — (7،24،25)
09
الصف الثالث الإعدادي
المرحلة الإعدادية · القمة
🎯 القانون العام لمعادلة الدرجة الثانية
المعادلة الكاملة \(ax^2 + bx + c = 0\) — لو مش قادر تحللها، استخدم القانون العام مباشرةً.
المميّز \(\Delta\) بيحدد لك عدد الجذور وطبيعتها.
\[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Δ = b²−4ac
المميّزΔ > 0
جذران حقيقيان مختلفانΔ = 0
جذران حقيقيان متساويانΔ < 0
لا توجد جذور حقيقيةEXAMPLE
حل: \(x^2 - 5x + 6 = 0\) ← \(a=1, b=-5, c=6\)\(\Delta = 25 - 24 = 1\)
\(x = \dfrac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 3,\; x_2 = 2\)
🗺️ الحاصل الديكارتي — العلاقات والدوال
الحاصل الديكارتي: \(A \times B\) = مجموع كل الأزواج المرتبة \((a, b)\) حيث \(a \in A\) و \(b \in B\).
الدالة: علاقة لكل عنصر في المجال صورة واحدة فقط في المدى.
الدالة: علاقة لكل عنصر في المجال صورة واحدة فقط في المدى.
\[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\; b \in B\} \]
💡
عدد عناصر \(A \times B = n(A) \times n(B)\). اختبار الخط الرأسي على الرسم البياني يحدد إن كانت دالة أم لا.
📊 التناسب — الطردي والعكسي والمتسلسل
| النوع | الصيغة | المعنى |
|---|---|---|
| طردي (Direct) | \(y = kx\) | يتضاعفان معاً |
| عكسي (Inverse) | \(xy = k\) | حاصل ضربهم ثابت |
| متسلسل | \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}\) | \(b\) وسيط تناسبي، \(b^2 = ac\) |
🔗 منظومة معادلتين من الدرجة الأولى في متغيرين
طريقتان للحل: الحذف (اجمع أو اطرح بعد التعديل) أو التعويض (عبّر عن متغير وعوّض في الثانية).
\[\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\]
- اضرب كل معادلة بعدد يخلّي معاملات المتغير الواحد متساوية
- اجمع أو اطرح المعادلتين لتحذف أحد المتغيرين
- احل المعادلة الناتجة في المتغير الباقي
- عوّض في أي معادلة أصلية لتجد المتغير الثاني
- تحقق بالتعويض في المعادلتين الأصليتين
📐 النسب المثلثية الأساسية (SOH–CAH–TOA)
\[\sin\theta = \frac{Opp}{Hyp} \qquad \cos\theta = \frac{Adj}{Hyp} \qquad \tan\theta = \frac{Opp}{Adj}\]
| θ | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) |
|---|---|---|---|
| \(30°\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(45°\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60°\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \qquad \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
🗺️ الهندسة التحليلية
المسافة بين نقطتين
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)منتصف القطعة
\(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)ميل الخط
\(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)معادلة الخط
\(y = mx + c\)متوازيان
\(m_1 = m_2\)متعامدان
\(m_1 \times m_2 = -1\)⭕ هندسة الدائرة
المحيط
\(A = 2\pi r\)المساحة
\(A = \pi r^2\)المركزية = ضعف المحيطية
\(\angle_c = 2 \cdot \angle_i\)الشكل الرباعي الدائري
الزاويتان المتقابلتان = 180°
💡
المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس. مماسان من نقطة خارجية متساويان.
📊 الإحصاء ومقاييس التشتت
الوسط الحسابي \(\bar{x}\): مجموع القيم ÷ عددها.
الوسيط: القيمة الوسطى بعد الترتيب.
المنوال: الأكثر تكراراً.
الوسيط: القيمة الوسطى بعد الترتيب.
المنوال: الأكثر تكراراً.
\[ \bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} \qquad \sigma = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}} \]
- احسب الوسط الحسابي \(\bar{x}\)
- اطرح الوسط من كل قيمة \((x_i - \bar{x})\)
- ارفع كل فرق لأس 2
- اجمع وقسّم على \(n\)
- خد الجذر التربيعي
💡
الانحراف المعياري الصغير = البيانات متقاربة حول الوسط. الكبير = البيانات متفرقة.
🔢 الكسور الجبرية والعمليات عليها
الكسر الجبري هو خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود.
مجال الكسر الجبري هو جميع الأعداد الحقيقية حا ( \(\mathbb{R}\) ) فرق مجموعة أصفار المقام.
\( f(x) = \dfrac{p(x)}{d(x)} \)
المجال = ℝ ناقص أصفار المقام
أصفار الدالة
القيم التي تجعل الدالة = 0تساوي كسرين
نفس المجال بعد الاختزال المبسطالمعكوس الضربي
نقلب الكسر — المجال يستثني أصفار البسط والمقام
⚠️
عند إجراء عمليات الجمع، الطرح، الضرب، أو القسمة: وحّد المقامات للجمع والطرح، واختزل (بسّط) الحدود المتشابهة بعد تحليل البسط والمقام!
🔓 التحليل الجبري الكامل — كل الصور
في الثالث الإعدادي لازم تتقن تحليل كثيرات الحدود بكل طرقها — العامل المشترك، مجموع المكعبين، فرق المكعبين، والتحليل بالإضافة والطرح.
| الصيغة | التحليل | الشرط / الطريقة |
|---|---|---|
| \(ax + ay\) | \(a(x+y)\) | عامل مشترك |
| \(a^2 - b^2\) | \((a+b)(a-b)\) | فرق مربعين |
| \(a^2 + 2ab + b^2\) | \((a+b)^2\) | مربع مجموع |
| \(a^2 - 2ab + b^2\) | \((a-b)^2\) | مربع فرق |
| \(a^3 + b^3\) | \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) | مجموع مكعبين |
| \(a^3 - b^3\) | \((a-b)(a^2+ab+b^2)\) | فرق مكعبين |
| \(x^2+(a+b)x+ab\) | \((x+a)(x+b)\) | اوجد عددين: جمعهم = b، ضربهم = c |
📈 الحل البياني لمنظومة معادلتين
كل معادلة من الدرجة الأولى في متغيرين تمثل خطاً مستقيماً. الحل البياني للمنظومة هو نقطة تقاطع الخطين.
خط واحد يقطعان
حل وحيد — نقطة التقاطعخطان متوازيان
لا يوجد حل — متعارضةخط واحد (متطابقان)
حلول لا نهائية — متوافقةميل الخط
\(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
💡
لرسم أي خط: عوّض \(x=0\) لتجد نقطة على المحور الرأسي، وعوّض \(y=0\) لتجد نقطة على المحور الأفقي — ثم وصّل النقطتين.
🎲 الاحتمالات — أساسيات
الاحتمال بيقيس مدى إمكانية وقوع حدث ما. قيمته دايمًا بين 0 (مستحيل) و 1 (مؤكد).
\( P(A) = \dfrac{\square}{\square} \)
= عدد النتائج المواتية ÷ مجموع النتائج الممكنة
الحد الأدنى
\(P(A) = 0\) — مستحيلالحد الأقصى
\(P(A) = 1\) — مؤكدالحدث المكمّل
\(P(A') = 1 - P(A)\)حدثان متنافيان
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)EXAMPLE
حجر نرد نرميه — ما احتمال ظهور عدد زوجي؟النتائج الممكنة = {1,2,3,4,5,6} → الزوجية = {2,4,6}
احتمال (زوجي) = \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
📐 قانون الجيب وقانون جيب التمام
لحل المثلثات غير القائمة نستخدم قانون الجيب أو قانون جيب التمام حسب المعطيات.
قانون الجيب
\( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} \)
قانون جيب التمام
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)
💡
استخدم قانون الجيب لما تعرف زاوية وضلعها المقابل. استخدم قانون جيب التمام لما تعرف 3 أضلاع أو ضلعين وزاويتهما المحصورة.