ملخص الجبر الوحدة الثانية كاملة
الصف الثالث الإعدادي - الترم الأول
فهرس الملخص
الدالة التربيعية
المفهوم الأساسي
الدالة التربيعية هي دالة كثيرة حدود من الدرجة الثانية، وتأخذ الصورة العامة:
حيث \(a, b, c\) أعداد حقيقية و \(a \neq 0\)
خصائص الدالة التربيعية
المميز (دلتا Δ)
جذران حقيقيان مختلفان
جذران حقيقيان متساويان
لا يوجد جذور حقيقية (جذور مركبة)
أمثلة محلولة
جد رأس منحنى الدالة \(d(x) = 2x^2 - 8x + 6\)
\(a = 2, \quad b = -8, \quad c = 6\)
\(x = \frac{-(-8)}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2\)
\(d(2) = 2(4) - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\)
✅ رأس المنحنى: \((2, -2)\) وهي نقطة صغرى لأن \(a = 2 > 0\)
حل المعادلة \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0\) ← جذران مختلفان
\(x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\)
\(x_1 = \frac{5+1}{2} = 3 \quad , \quad x_2 = \frac{5-1}{2} = 2\)
✅ الحل: \(x \in \{2, 3\}\)
حل بالتحليل: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
نبحث عن عددين حاصل ضربهما = 6 وجمعهما = -5
العددان هما \(-2\) و \(-3\)
\((x - 2)(x - 3) = 0\)
\(x = 2\) أو \(x = 3\)
✅ مجموعة الحل: \(\{2, 3\}\)
العلاقة بين الجذور والمعاملات
\(x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}\)
\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
مجموعة الأصفار الحقيقية لدوال كثيرات الحدود
المفهوم الأساسي
مجموعة أصفار الدالة \(d(x)\) هي مجموعة القيم الحقيقية لـ \(x\) التي تجعل \(d(x) = 0\). أي هي حل المعادلة \(d(x) = 0\).
هويات التحليل المهمة
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
الفرق بين مربعين
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
المربع الكامل (جمع)
\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\)
مجموع مكعبين
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
فرق مكعبين
أمثلة محلولة
جد مجموعة أصفار الدالة \(d(x) = x^2 - 9\)
\(x^2 - 9 = 0\) ← فرق بين مربعين
\((x+3)(x-3) = 0\)
\(x = -3\) أو \(x = 3\)
✅ مجموعة الأصفار: \(\{-3, 3\}\)
جد مجموعة أصفار الدالة \(d(x) = x^3 - 8\)
\(x^3 - 8 = 0\) ← فرق مكعبين
\(x^3 - 2^3 = 0\)
\((x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\)
\(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
\(x^2 + 2x + 4 = 0\) ← \(\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\) لا جذور حقيقية
✅ مجموعة الأصفار: \(\{2\}\)
جد مجموعة أصفار الدالة \(d(x) = x^2 - 5x\)
\(x^2 - 5x = 0\) ← نخرج \(x\) كعامل مشترك
\(x(x - 5) = 0\)
\(x = 0\) أو \(x = 5\)
✅ مجموعة الأصفار: \(\{0, 5\}\)
جد مجموعة أصفار الدالة \(d(x) = x^2 + 4x + 4\)
\(x^2 + 4x + 4 = 0\) ← مربع كامل
\((x + 2)^2 = 0\)
\(x = -2\)
✅ مجموعة الأصفار: \(\{-2\}\)
دوال الكسور الجبرية النسبية
المفهوم الأساسي
الكسر الجبري النسبي هو كسر بسطه ومقامه كثيرتا حدود، ويأخذ الصورة:
حيث \(P(x)\) و \(Q(x)\) كثيرتا حدود و \(Q(x) \neq 0\)
مجال الدالة
تبسيط الكسور الجبرية
عند تبسيط الكسر الجبري، نحلل البسط والمقام ثم نختصر العوامل المشتركة، مع مراعاة أن المجال لا يتغير بعد التبسيط (القيم الممنوعة تبقى ممنوعة).
أمثلة محلولة
جد مجال الدالة \(d(x) = \frac{3}{x-2}\)
المقام: \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
المجال: \(\mathbb{R} - \{2\}\)
✅ المجال = \(\mathbb{R} - \{2\}\)
بسّط: \(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)
البسط: \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\) ← فرق بين مربعين
\(\frac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x - 2\)
✅ النتيجة: \(x - 2\) حيث \(x \neq -2\)
جد مجال الدالة \(d(x) = \frac{x}{x^2 - 1}\)
المقام: \(x^2 - 1 = 0\)
\((x+1)(x-1) = 0\)
\(x = 1\) أو \(x = -1\)
✅ المجال = \(\mathbb{R} - \{-1, 1\}\)
المجال المشترك وتساوي دوال الكسور الجبرية النسبية
المفهوم الأساسي
المجال المشترك لدالتين أو أكثر هو تقاطع مجالاتهما. ودالتان كسريتان متساويتان إذا كانت قيمتهما متساوية لكل عنصر في المجال المشترك.
أي نستبعد جميع القيم الممنوعة من كلتا الدالتين
أمثلة محلولة
جد المجال المشترك للدالتين: \(d_1(x) = \frac{1}{x-1}\) و \(d_2(x) = \frac{2}{x+3}\)
مجال \(d_1\): \(\mathbb{R} - \{1\}\)
مجال \(d_2\): \(\mathbb{R} - \{-3\}\)
المجال المشترك: \(\mathbb{R} - \{-3, 1\}\)
✅ المجال المشترك = \(\mathbb{R} - \{-3, 1\}\)
هل الدالتان متساويتان؟ \(d_1(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) و \(d_2(x) = x + 1\)
تبسيط \(d_1\): \(\frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x + 1\) حيث \(x \neq 1\)
مجال \(d_1\): \(\mathbb{R} - \{1\}\)
مجال \(d_2\): \(\mathbb{R}\)
المجالان مختلفان ← الدالتان غير متساويتين
⚠️ رغم تساوي القيم في المجال المشترك، الدالتان غير متساويتين لاختلاف المجالين
العمليات على الكسور الجبرية النسبية
الجمع والطرح
الضرب والقسمة
أمثلة محلولة
بسّط: \(\frac{2}{x} + \frac{3}{x}\)
المقام متشابه ← نجمع البسوط مباشرة
\(\frac{2+3}{x} = \frac{5}{x}\)
✅ النتيجة: \(\frac{5}{x}\) حيث \(x \neq 0\)
بسّط: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\)
م.م.أ = \(x(x+1)\)
\(\frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)}\)
\(= \frac{x + 1 + x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}\)
✅ النتيجة: \(\frac{2x+1}{x(x+1)}\) حيث \(x \neq 0, x \neq -1\)
بسّط: \(\frac{x^2 - 1}{x} \times \frac{x^2}{x+1}\)
\(= \frac{(x+1)(x-1)}{x} \times \frac{x^2}{x+1}\) ← نحلل البسط الأول
\(= \frac{(x+1)(x-1) \times x^2}{x \times (x+1)}\)
\(= \frac{(x-1) \times x}{1}\) ← نختصر \((x+1)\) و \(x\)
\(= x(x-1) = x^2 - x\)
✅ النتيجة: \(x^2 - x\) حيث \(x \neq 0, x \neq -1\)
بسّط: \(\frac{x+2}{x-3} \div \frac{x^2-4}{x^2-9}\)
\(= \frac{x+2}{x-3} \times \frac{x^2-9}{x^2-4}\) ← نقلب الكسر الثاني
\(= \frac{x+2}{x-3} \times \frac{(x+3)(x-3)}{(x+2)(x-2)}\)
\(= \frac{(x+2)(x+3)(x-3)}{(x-3)(x+2)(x-2)}\)
\(= \frac{x+3}{x-2}\)
✅ النتيجة: \(\frac{x+3}{x-2}\) حيث \(x \neq 3, x \neq -3, x \neq 2, x \neq -2\)
مراجعة سريعة 🎯
أهم القوانين والقواعد في لمحة سريعة
الدالة التربيعية
- • \(d(x) = ax^2 + bx + c\)
- • المحور: \(x = \frac{-b}{2a}\)
- • \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- • \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
التحليل
- • \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
- • \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
- • \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)
- • \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
الكسور الجبرية
- • المجال = \(\mathbb{R}\) - القيم الممنوعة
- • نحلل ثم نختصر للتبسيط
- • المجال لا يتغير بعد التبسيط
التساوي والمجال المشترك
- • تساوي المجالين مطلوب
- • تساوي القيم في المجال المشترك
العمليات
- • الجمع/الطرح: نوحّد المقامات
- • الضرب: بسط × بسط / مقام × مقام
- • القسمة: نضرب في مقلوب الثاني
نصائح مهمة
- • دائماً حدد المجال أولاً
- • حلل قبل أي تبسيط
- • لا تنسَ القيم الممنوعة