ملخص الهندسة الوحدة الثالثة كاملة
الصف الثالث الإعدادي - الترم الأول
فهرس ملخص الهندسة
تشابه المضلعات
المفهوم الأساسي
يقال لمضلعين لهما نفس عدد الأضلاع أنهما متشابهان إذا تحقق الشرطان معاً:
معامل التشابه (نسبة التشابه)
إذا كان المضلع \(M_1\) يشابه المضلع \(M_2\)، فإن النسبة بين أي ضلعين متناظرين تسمى معامل التشابه \(k\):
تكبير للمضلع الثاني
تصغير للمضلع الثاني
المضلعان متطابقان
نسبة محيطي مضلعين متشابهين تساوي معامل التشابه نفسه. بينما نسبة مساحتيهما تساوي مربع معامل التشابه (\(k^2\)).
أمثلة محلولة
مضلعان متشابهان، النسبة بين طولي ضلعين متناظرين فيهما \(3 : 5\). فإذا كان محيط المضلع الأصغر \(15\text{ سم}\)، فما هو محيط الأكبر؟
بما أن المضلعين متشابهان، فإن نسبة المحيطين تساوي نسبة الضلعين:
\(\frac{\text{محيط الأصغر}}{\text{محيط الأكبر}} = \frac{3}{5}\)
\(\frac{15}{x} = \frac{3}{5} \Rightarrow x = \frac{15 \times 5}{3} = 25\)
✅ محيط المضلع الأكبر = \(25\text{ سم}\)
تشابه المثلثات
حالات تشابه المثلثات
يكفي لتحقيق التشابه بين مثلثين توافر حالة واحدة من الحالات الثلاث التالية:
إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين يتشابهان.
إذا كان \(\angle A = \angle D\) و \(\angle B = \angle E\)، فإن \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
إذا كانت الأضلاع المتناظرة لمثلثين متناسبة، فإن المثلثين يتشابهان.
إذا كان \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\)، فإن \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
إذا تناسب طولا ضلعين في مثلث مع طولي الضلعين المناظرين لهما وتطابقت الزاويتان المحصورتان بينهما، فإن المثلثين يتشابهان.
إذا كان \(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\) و \(\angle A = \angle D\)، فإن \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
نتائج هامة
- • الخط المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث ويقطع الآخرين يقسم المثلث إلى مثلثين متشابهين.
- • في المثلث قائم الزاوية، العمود الساقط من رأس القائمة على الوتر يقسم المثلث إلى مثلثين متشابهين، وكلاهما يشابه المثلث الأصلي (نظرية إقليدس).
أمثلة محلولة
في \(\triangle ABC\) رسم \(DE \parallel BC\) حيث \(D \in AB\) و \(E \in AC\). إذا كان \(AD = 2\text{ سم}\)، \(DB = 4\text{ سم}\)، و \(BC = 9\text{ سم}\). احسب طول \(DE\).
بما أن \(DE \parallel BC\) فإن \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\).
من التشابه: \(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\)
\(AB = AD + DB = 2 + 4 = 6\text{ سم}\)
\(\frac{2}{6} = \frac{DE}{9} \Rightarrow DE = \frac{2 \times 9}{6} = 3\)
✅ طول \(DE = 3\text{ سم}\)
التمدد الهندسي (Dilation)
المفهوم الأساسي
التمدد هو تحويل هندسي يكبر الشكل أو يصغره بنسبة ثابتة تسمى معامل التمدد \(k\)، انطلاقاً من نقطة ثابتة تسمى مركز التمدد.
لإيجاد إحداثيات الصورة الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل \((0,0)\) ومعامله \(k\)، نضرب كلا الإحداثيين في \(k\):
تأثير معامل التمدد \(k\)
تكون الصورة **تكبيراً** للشكل الأصلي.
تكون الصورة **تصغيراً** للشكل الأصلي.
أمثلة محلولة
ما هي صورة النقطة \(A(2, -3)\) بتمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله \(k = 3\)؟
نضرب كل إحداثي في المعامل 3:
\(A'(x', y') = (2 \times 3, -3 \times 3) = (6, -9)\)
✅ صورة النقطة هي: \(A'(6, -9)\)
النسب المثلثية الأساسية للزاوية الحادة
المفهوم الأساسي
في المثلث القائم الزاوية، تُعرّف النسب المثلثية للزاوية الحادة بناءً على أطوال أضلاع المثلث (المقابل، المجاور، والوتر):
العلاقات المثلثية الهامة
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
إذا كان \(A + B = 90^\circ\) فإن \(\sin A = \cos B\)
أمثلة محلولة
في المثلث قائم الزاوية في \(B\)، إذا كان \(AB = 3\text{ سم}\) و \(BC = 4\text{ سم}\). احسب \(\sin A\) و \(\cos A\).
بفيثاغورس نجد الوتر \(AC\):
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5\text{ سم}\)
\(\sin A = \frac{\text{المقابل } (BC)}{\text{الوتر } (AC)} = \frac{4}{5} = 0.8\)
\(\cos A = \frac{\text{المجاور } (AB)}{\text{الوتر } (AC)} = \frac{3}{5} = 0.6\)
✅ \(\sin A = \frac{4}{5}\)، \(\cos A = \frac{3}{5}\)
النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة
| الزاوية (\(\theta\)) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
|---|---|---|---|
| جيب (\(\sin\)) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| جيب تمام (\(\cos\)) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| ظل (\(\tan\)) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |
أمثلة محلولة
احسب قيمة المقدار: \(\sin 30^\circ \cos 60^\circ + \cos 30^\circ \sin 60^\circ\)
\(= \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
✅ قيمة المقدار = \(1\)
علاقة ميل المستقيمين المتوازيين والمتعامدين
إذا كان المستقيمان متوازيين، فإن ميليهما متساويان:
إذا كان المستقيمان متعامدين، فإن حاصل ضرب ميليهما يساوي \(-1\):
أمثلة محلولة
إذا كان المستقيم \(L_1\) يمر بالنقطتين \((1, 2)\) و \((3, 6)\)، والمستقيم \(L_2\) يمر بالنقطتين \((-1, 1)\) و \((1, y)\). جد قيمة \(y\) إذا كان \(L_1 \parallel L_2\).
\(m_1 = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\)
\(m_2 = \frac{y - 1}{1 - (-1)} = \frac{y - 1}{2}\)
بما أن \(L_1 \parallel L_2 \Rightarrow m_1 = m_2\)
\(2 = \frac{y - 1}{2} \Rightarrow y - 1 = 4 \Rightarrow y = 5\)
✅ قيمة \(y = 5\)
معادلة الخط المستقيم
حيث \(m\) هو الميل، و \(c\) هو الجزء المقطوع من محور الصادات.
- الجزء المقطوع من محور الصادات: \(\text{المقطع الصادي} = -\frac{C}{B}\)
- الجزء المقطوع من محور السينات: \(\text{المقطع السيني} = -\frac{C}{A}\)
أمثلة محلولة
جد معادلة المستقيم الذي ميله \(3\) ويقطع جزءاً موجباً من محور الصادات طوله \(5\) وحدات.
بما أن الميل \(m = 3\)، والجزء المقطوع \(c = 5\)
نعوض في المعادلة \(y = mx + c\)
✅ المعادلة: \(y = 3x + 5\)
جد ميل ومقطع الصادات للمستقيم ذي المعادلة: \(2x - 3y + 6 = 0\)
نكتب المعادلة بدلالة \(y\):
\(-3y = -2x - 6 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + 2\)
بالمقارنة مع \(y = mx + c\)
✅ الميل = \(\frac{2}{3}\)، والجزء المقطوع من محور الصادات = \(2\)
مراجعة سريعة 🎯
قوانين الهندسة وحساب المثلثات في لمحة
التشابه والتمدد
- • التشابه يتطلب تناسب الأضلاع وتساوي الزوايا.
- • نسبة المحيطين = \(k\).
- • نسبة المساحتين = \(k^2\).
- • تمدد نقطة: \((x, y) \rightarrow (kx, ky)\).
حساب المثلثات
- • \(\sin \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}\).
- • \(\cos \theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}\).
- • \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\).
- • \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).
المستقيمات والميل
- • الميل: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan \theta\).
- • التوازي: \(m_1 = m_2\).
- • التعامد: \(m_1 \times m_2 = -1\).
- • المعادلة: \(y = mx + c\).