ملخص الإحصاء | رياضيات ثالثة إعدادي

معلومة سابقة (مقاييس النزعة المركزية)

قبل البدء في دراسة مقاييس التشتت، من المهم جداً استرجاع مفاهيم مقاييس النزعة المركزية التي درسناها سابقاً، حيث تعتمد حسابات التشتت عليها بشكل مباشر. أول هذه المقاييس وأكثرها استخداماً هو الوسط الحسابي، وهو القيمة التي تعبر عن معدل مجموعة من القيم، ويتم حسابه ببساطة عن طريق جمع كل المفردات ثم قسمة هذا المجموع على عددها الإجمالي.

المقياس الثاني هو الوسيط، وهو يمثل القيمة التي تقع في منتصف البيانات تماماً. ولتحديده، يجب أولاً ترتيب جميع القيم ترتيباً تصاعدياً أو تنازلياً، لتكون القيمة التي تتوسط المجموعة هي الوسيط، بحيث يسبقها نصف البيانات ويتلوها النصف الآخر.

أما المقياس الثالث فهو المنوال، ويُقصد به القيمة أو المشاهدة الأكثر شيوعاً والأكثر تكراراً بين مجموعة القيم.

مفهوم التشتت والمقاييس البسيطة

التشتت: هو التباعد أو الاختلاف بين مفردات المجموعة المعطاة.

المدى

هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.

المدى = أكبر مفردة - أصغر مفردة

مثال تطبيقي

أوجد المدى للقيم: $34، 23، 56، 40، 28$

أكبر مفردة = $56$ ، وأصغر مفردة = $23$
المدى = $56 - 23 = 33$

المدى الربيعي والانحراف الربيعي

المدى الربيعي هو الفرق بين الربيع الأعلى والربيع الأدنى. والانحراف الربيعي هو نصفه.

المدى الربيعي = الربيع الأعلى - الربيع الأدنى
الانحراف الربيعي = $\frac{المدى الربيعي}{2}$

مثال تطبيقي

إذا كان الربيع الأعلى لمجموعة بيانات هو $45$ والربيع الأدنى هو $25$.

المدى الربيعي = $45 - 25 = 20$
الانحراف الربيعي = $20 \div 2 = 10$

الانحراف المعياري

هو أدق مقاييس التشتت، ويُعرّف بأنه الجذر التربيعي الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي. يُرمز له بالرمز $\sigma$.

1. الانحراف المعياري لمجموعة من المفردات

$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}} $$

مسألة محلولة

احسب الانحراف المعياري للقيم الآتية: $8، 9، 7، 6، 5$

الخطوة الأولى: الوسط الحسابي ($\bar{x}$)

$\bar{x} = \frac{8 + 9 + 7 + 6 + 5}{5} = \frac{35}{5} = 7$

الخطوة الثالثة: التعويض في القانون

$\sigma = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2} \approx 1.41$

الخطوة الثانية: تكوين الجدول

$x$	$x - \bar{x}$	$(x - \bar{x})^2$
8	1	1
9	2	4
7	0	0
6	-1	1
5	-2	4
المجموع		10

2. الانحراف المعياري لتوزيع تكراري (بسيط ومجموعات)

$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2 \times k}{\sum k}} $$

حيث $k$ هو التكرار، و $x$ هو القيمة (في التوزيع البسيط) أو مركز المجموعة (في التوزيع ذي المجموعات).

مسألة محلولة

أوجد الانحراف المعياري للتوزيع التكراري الآتي:

العمر ($x$)	15	20	22	23	30
التكرار ($k$)	2	3	3	1	1

الجدول الإحصائي للحل

$x$	$k$	$x \times k$	$x - \bar{x}$	$(x - \bar{x})^2$	$(x - \bar{x})^2 \times k$
15	2	30	-5.9	34.81	69.62
20	3	60	-0.9	0.81	2.43
22	3	66	1.1	1.21	3.63
23	1	23	2.1	4.41	4.41
30	1	30	9.1	82.81	82.81
المجموع	10	209			162.9

1. إيجاد الوسط الحسابي ($\bar{x}$)

$\bar{x} = \frac{209}{10} = 20.9$

2. الانحراف المعياري ($\sigma$)

$\sigma = \sqrt{\frac{162.9}{10}} = \sqrt{16.29} \approx 4.04$