الجبر
الصف الثالث الإعدادي - الترم الأول
الدالة التربيعية
تعريف الدالة التربيعية
الدالة التربيعية هي دالة من الدرجة الثانية على الصورة:
حيث \(a \neq 0\) و \(a, b, c \in \mathbb{R}\)
الخصائص الأساسية
\(a > 0\) → فتحة لأعلى (قيمة صغرى)
\(a < 0\) → فتحة لأسفل (قيمة عظمى)
\(h = -\frac{b}{2a}\)
\(k = f(h) = a h^2 + b h + c\)
\(x = h = -\frac{b}{2a}\)
\((0, c)\)
أمثلة محلولة
\(f(x) = 2(x - 3)^2 + 1\)
👈 رأس المنحنى: \((3, 1)\)
👈 محور التماثل: \(x = 3\)
👈 فتحة لأعلى (a = 2 > 0)
\(f(x) = -x^2 + 4x - 1\)
👈 \(h = -\frac{4}{2(-1)} = 2\)
👈 \(k = -4 + 8 - 1 = 3\)
👈 رأس المنحنى: \((2, 3)\) → قيمة عظمى
العمليات على الدوال التربيعية
\((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
\((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
\((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)، \(g(x) \neq 0\)
حل المعادلات التربيعية
تحليل المقدار إلى عاملين وحل كل عامل = 0
تحويل المعادلة إلى الصورة \((x + h)^2 = k\)
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta > 0\): جذران حقيقيان
\(\Delta = 0\): جذر واحد مكرر
\(\Delta < 0\): لا توجد جذور حقيقية
تطبيقات على الدوال التربيعية
الحركة المقذوفات
حساب أقصى ارتفاع وزمن الوصول
الربح والخسارة
إيجاد النقطة التي تحقق أقصى ربح
المساحات
حساب الأبعاد التي تعطي أكبر مساحة
مراجعة سريعة 🎯
الدالة التربيعية
- • \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
- • رأس المنحنى: \(\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\)
- • محور التماثل: \(x = -\frac{b}{2a}\)
حل المعادلات
- • التحليل إلى عوامل
- • إكمال المربع
- • القانون العام: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
- • المميز: \(\Delta = b^2 - 4ac\)