ملخص منهج الميكانيكا

تحليل متجه السرعة بزاوية \(\theta\):

\[v_x = v \cos\theta \quad,\quad v_y = v \sin\theta\]

محصلة متجهين متعامدين:

\[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \quad,\quad \tan\theta = \frac{v_y}{v_x}\]

الحركة الأفقية (منتظمة \(a_x = 0\)):

\[v_x = v_0 \quad,\quad x = v_x \cdot t\]

الحركة الرأسية (سقوط حر \(v_{0y}=0\)):

\[v_y = g t \quad,\quad y = \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{2y}{g}}\]

المركبات الابتدائية للسرعة:

\[v_{0x} = v_0 \cos\theta \quad,\quad v_{0y} = v_0 \sin\theta\]

زمن أقصى ارتفاع وزمن التحليق:

\[t_h = \frac{v_0 \sin\theta}{g} \quad,\quad T = 2 t_h = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}\]

أقصى ارتفاع رأسي والمدى الأفقي:

\[H = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g} \quad,\quad R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}\]

\[\tau = F \cdot d \cdot \sin\theta\]

الوحدة: نيوتن · متر (N·m)

الاتجاه: عكس عقارب الساعة (+)، مع عقارب الساعة (-)

الشرط الأول (الاتزان الانتقالي):

\[\sum \vec{F} = 0 \implies \sum F_x = 0\ ,\quad \sum F_y = 0\]

الشرط الثاني (الاتزان الدوراني):

\[\sum \tau = 0\]

القدرة:

\[P = \frac{W}{t} = \frac{F \cdot d}{t} = F \cdot v\]

الوحدة: واط (W)، والحصان الميكانيكي: \(1\text{ hp} = 746\text{ W}\)

الكفاءة:

\[\eta = \frac{W_{out}}{W_{in}} \times 100\% = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%\]

كمية التحرك (الزخم):

\[p = m \cdot v \quad \text{(وحدة: kg}\cdot\text{m/s)}\]

الدفع وكمية الحركة:

\[J = F \cdot \Delta t = \Delta p = m (v_f - v_i)\]

الوحدة: N·s أو kg·m/s

التصادم العام:

\[m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}\]

التصادم عديم المرونة (التحام):

\[m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2) v'\]

العلاقة بين كمية التحرك والطاقة الحركية:

\[KE = \frac{p^2}{2m} \quad \iff \quad p = \sqrt{2 m \cdot KE}\]

السرعة المماسية والتردد:

\[v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f\]

العجلة المركزية والقوة المركزية:

\[a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r \quad,\quad F_c = m a_c = \frac{m v^2}{r}\]

المنحنى الأفقي (أقصى سرعة آمنة):

\[v_{max} = \sqrt{\mu_s \cdot g \cdot r}\]

الحركة الدائرية الرأسية (شد الخيط):

\[T_{top} = \frac{m v^2}{r} - mg \quad,\quad T_{bottom} = \frac{m v^2}{r} + mg\]

أدنى سرعة أمان عند القمة: \(v_{min} = \sqrt{g r}\)

قانون الجذب العام:

\[F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \quad,\quad G = 6.674 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\]

قانون كبلر الثالث والسرعة المدارية:

\[\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} \quad,\quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]